Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie! › Dreptunghiul. Definitie si proprietati

Dreptunghiul. Definitie si proprietati

| |

Fig. 1

Omul de cultura Gheorghe A. Asachi (1788-1869) a introdus in Romania denumirea dreptunghi, in terminologia matematica, in anul 1814. Un dreptunghi este un paralelogram ca cel din figura 1. Faptul ca ABCD este un dreptunghi poate fi scris, spre exemplu, astfel: AB ∥ DC, AD ∥ BC, m (∢B) = 90°.

Definitia dreptunghiului: Dreptunghiul este un paralelogram care are un unghi drept.

Dreptunghiul fiind un paralelogram, proprietatile paralelogramului sunt adevarate si in cazul dreptunghiului. Insa, dreptunghiul este un paralelogram particular, iar pe langa proprietatile paralelogramului acesta are si alte proprietati (care sunt doar ale dreptunghiului).

Tabel - Proprietatile dreptunghiului (specifice unui paralelogram)

Nr. crt.	Proprietatile dreptunghiului (specifice paralelogramului)
1.	Intr-un dreptunghi laturile opuse sunt congruente
2.	Intr-un dreptunghi unghiurile opuse sunt congruente
3.	Intr-un dreptunghi doua unghiuri consecutive sunt suplementare
4.	Intr-un dreptunghi diagonalele au acelasi mijloc

Proprietatile specifice doar unui dreptunghi

1. Direptunghiul are toate unghiurile congruente si deci toate sunt unghiuri drepte (consecinta a definitiei dreptunghiului).

Aceasta teorema mai poate fi enuntata astfel: Daca un patrulater convex este dreptunghi, atunci toate unghiurile lui sunt congruente si deci toate sunt unghiuri drepte.)

Pentru a demonstra aceasta teorema vom folosi figura 1. Fiind paralelogram, dreptunghiul are unghiurile opuse congruente: ∢B ≡ ∢D, (m(∢B) = m(∢D) = 90°), dar si doua unghiuri consecutive suplementare: m(∢A) + m(∢B) = 180°, ceea ce implica: m(∢A) = 90°. Cum m(∢C) = m(∢A) - ca unghiuri opuse, rezulta ca si m(∢C) = 90°.

Prin urmare, m(∢A) = m(∢B) = m(∢C) = m(∢D) = 90°.

2. Daca un patrulater are toate unghiurile congruente si deci sunt drepte, atunci el este dreptunghi.

Pentru a demonstra aceasta proprietate vom folosi tot figura 1. Este suficient sa demonstram ca patrulaterul ABCD este paralelogram, deoarece, avand un unghi drept (din ipoteza, el va fi dreptunghi.

Consideram dreptele AD si BC intersectate de secanta AB. Din ipoteza: m(∢A) = m(∢B) = 90°, deci m(∢A) + m(∢B) = 180°. Rezulta ca unghiurile DAB si ABC, care sunt unghiuri interne si de aceeasi parte a secantei AB, sunt suplementare, deci AD ∥ BC.

Analog se demonstreaza ca AB ∥ DC.

Prin urmare, patrulaterul ABCD este paralelogram. Avand un unghi drept (ipoteza), patrulaterul este dreptunghi (q.e.d./Quod erat demonstrandum).

Proprietatea descrisa de teorema reciproca este o proprietate caracteristica dreptunghiurilor.

O alta proprietate a dreptunghiului este urmatoarea:

3. Diagonalele dreptunghiului sunt congruente

Pentru a demonstra aceasta proprietate vom lua dreptunghiul ABCD din figura 2, considerand triunghiurile ABC si BAD, avem: [BC] ≡ [AD] (ca laturi opuse in paralelogramul ABCD), ∢ABC ≡ ∢BAD (m(∢ABC) = m(∢BAD) = 90°, din ipoteza si consecinta definitiei dreptunghiului), [AB] = [BA] (latura comuna).

Fig. 2

Fiind dreptunghice si avand catetele respectiv congruente, cele doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente. De aici rezulta si congruenta ipotenuzelor [AC] ≡ [BD] (q.e.d./Quod erat demonstrandum)

4. Daca diagonalele unui paralelogram sunt congruente, atunci paralelogramul este dreptunghi

Pentru a demonstra aceasta proprietate vom lua paralelogramul ABCD cu diagonalele congruente ([BD] ≡ [AC]) din figura 3. Considerand triunghiurile ABD si BAC, avem: [AB] = [BA] (latura comuna); [BD] ≡ [AC] (ipoteza), [AD] ≡ [BC] (ca laturi opuse in paralelogramul ABCD).

Fig. 3

Conform cazului 3 de congruenta a triunghiurilor oarecare (LLL/latura-latura-latura), △ ABD ≡ △ BAC.

In aceste triunghiuri congruente, laturilor congruente [BD] si [AC] li se opun unghiuri congruente: ∢BAD ≡ ∢ABC.

Dar aceste doua unghiuri sunt unghiuri ale paralelogramului de aceeasi parte a secantei AB, adica sunt unghiuri suplementare; deci m(∢BAD) = m(∢ABC) = 90°.

Prin urmare, paralelogramul ABCD, avand un unghi drept, este dreptunghi (q.e.d./Quod erat demonstrandum).

Proprietatea descrisa de aceasta teorema reciproca este o proprietate caracteristica dreptunghiurilor.

Ca o recapitulare a ceea ce am prezentat anterior, vom formula urmatoarele: In orice dreptunghi toate unghiurile sunt congruente si deci sunt unghiuri drepte; orice patrulater convex in care toate unghiurile sunt congruente si deci sunt unghiuri drepte este dreptunghi; in orice dreptunghi diagonalele sunt congruente si orice paralelogram cu diagonalele congruente este dreptunghi.

Dreptunghiul admite doua axe de simetrie si anume: mediatoarele laturilor lui. In figura 4 axele de simetrie ale dreptunghiului ABCD sunt drepte MN si PQ (M - mijlocul lui [AB], N - mijlocul lui [CD], P - mijlocul lui [AD], Q - mijlocul lui [BC]).

Fig. 4

Putem observa ca axele de simetrie ale dreptunghiului sunt perpendiculare intre ele, sunt paralele cu laturile dreptunghiului si contin punctul de intersectie a diagonalelor lui.

Daca E este un punct ce apartine figurii, simetricul lui fata de axa de simetrie MN (punctul E') apartine, de asemenea, figurii; tot asa simetricul lui E fata de axa de simetrie PQ (punctul E") apartine, de asemenea, figurii.

Cum desenam un dreptunghi?

Putem construi un dreptunghi astfel:

Desenam un triunghi dreptunghic (varfurile lui vor fi trei dintre varfurile unui dreptunghi) si apot, prin varfurile unghiurilor ascutite, desenam paralelele la catetele triunghiului. Intersectia paralelelor reprezinta cel de-al patrulea varf al dreptunghiului.
desenam doua segmente congruente care sa aiba acelasi mijloc. Capetele (extremitatile) celor doua segmente sunt varfurile unui dreptunghi.
Desenam doua drepte paralele si apoi desenam o perpendiculara pe una dintre aceste drepte. Aceasta perpendiculara, impreuna cu alta dreapta paralela cu ea, determina la intersectiile cu primele doua drepte, varfurile unui dreptunghi.

Alte articole