Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie! › Teorema celor trei perpendiculare

Teorema celor trei perpendiculare

| |

Teorema celor trei perpendiculare prezinta urmatorul enunt: Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan α si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, o dreapta c care uneste orice punct M al perpendicularei d pe plan, cu intersectia P a celor doua perpendiculare din plan, este perpendiculara pe a treia dreapta b.

Demonstratia 1: Se da d ⊥ α, a ⊂ α, b ⊂ α, a ⊥ b si se cere sa se arate ca c ⊥ b (figura 1). Dreapta b, fiind continuta in planul α, este perpendiculara pe d. Dar b este perpendiculara si pe a, deci b este perpendiculara pe planul determinat de a si d. Este, prin urmare, perpendiculara pe orice dreapta continuta in acest plan (a, b). Cum dreapta c are doua puncte (M si P) in acest plan, deci este continuta in el, rezulta ca dreapta b este perpendiculara pe c.

Fig. 1

Demonstratia 2: (notatiile fiind cele din figura 2 si literele mici reprezentand, de data aceasta, masurile segmentelor si nu dreptele).

Fig. 2

Luam pe a treia perpendiculara un punct T (PT = b) si, aplicand teorema lui Pitagora, in triunghiurile △MAP si △APT, avem:

d² = c² - a²; e² = a² + b²; f² = d² + e²,

(unde f = MT, e = AT). Inlocuim, in a treia relatie, pe d² din prima relatie si pe e² din a doua relatie si obtinem f² = c² - a² + a² + b² sau f² = c² + b². Din reciproca teoremei lui Pitagora rezulta ca ∢MPT = 90°.

Alte articole